Instabilités et Bifurcations en Mécanique
Quiberon
14-19 Sept. 2015
4ème école d'été de mécanique théorique à destination des doctorants et chercheurs en Mécanique
Le principe de l'organisation de cette série d'écoles d'été de mécanique théorique est né du constat d'une certaine désaffection de la communauté mécanicienne française vis-à-vis des fondements de sa discipline. Ce mouvement est sans doute en partie une conséquence des retombées spectaculaires des progrès de la mécanique dans les domaines technologiques. Il en a résulté un souci légitime de la communauté mécanicienne de produire un savoir-faire immédiatement utilisable par la société en vue du progrès technologique. Il nous semble cependant vital de rappeler que les progrès des fondements de la mécanique sont tout aussi importants que l'accompagnement de ses applications immédiates, et que ce sont les progrès fondamentaux d'aujourd'hui qui font les retombées technologiques de demain. Nous considérons également comme essentiel que toute formation dans le domaine de la Mécanique comprenne une sensibilisation aux aspects théoriques qui en font un champ de connaissance vivant étendant sans cesse son champ d'application.
Pour remettre la mécanique fondamentale à l'honneur, nous nous proposons d'organiser à intervalles réguliers des écoles concernant chacune un thème de mécanique théorique dont au moins une connaissance élémentaire nous paraît indispensable à tout mécanicien professionnel. Les thèmes retenus pour les trois premières écoles de mécanique théorique ont été ceux des « Méthodes Asymptotiques en Mécanique », des « Milieux Continus Généralisés » et de « l'Analyse Variationnelle et Microstructuration ». Les sites web de ces éditions précédentes sont consultables et accessibles à partir du site web du groupe de travail « Mécanique Théorique » mecatheo.ida.upmc.fr. La quatrième école de mécanique théorique sera consacrée au thème « Instabilités et Bifurcation en Mécanique ».
Les problèmes mathématiques posés par la mécanique sont, en général, des problèmes non-linéaires. Ces non-linéarités entraînent une phénoménologie riche (transition de réponse qualitative du système, brisure spontanée de symétrie, etc...), qui très souvent échappe à l'intuition. La première analyse d'une telle conséquence spectaculaire (ou inattendue) de non-linéarité est celle faite au 18ème siècle par Leonhard Euler de la flexion spontanée d'une tige élastique sous l'effet d'une compression axiale. Mais, c'est essentiellement au 20ème siècle que la théorie s'est développée. Il en a résulté un inventaire et une classification des manifestations de non-linéarité, unifiant des phénomènes d'apparence très distincte et qui dépasse maintenant le cadre de la mécanique qui avait suscité le développement de la théorie. On s'attachera à présenter des éléments de la théorie générale avant de décliner trois grand domaines d'application en mécanique.
- La théorie locale des bifurcations sera d'abord présentée dans le cadre simplificateur de la dimension finie. La linéarisation permettra d'introduire une classification des diverses instabilités et bifurcations. On construira les principaux outils d'analyse que sont les variétés centrales et les formes normales. L'extension à la dimension infinie que requiert la mécanique des milieux continus sera discutée.
- Un premier champ d'application est celui des instabilités hydrodynamiques avec les deux problèmes modèles de Couette-Taylor et de Rayleigh-Bénard. Instabilités dans les fluides au repos et instabilités convectives d'écoulements ouverts. Instabilités visqueuses et non-visqueuses.
- La mécanique des structures élastiques minces est également pourvoyeuse d'un grand nombre d'exemples. Flambement, claquage, flottement. Méthode de Lyapunov-Schmidt.
- Localisation de la déformation dans les solides. Modes diffus et localisés. Modes de surface et d'interfaces.
Cette manifestation est subventionnée par le CNRS au titre des écoles thématiques 2015, ainsi que par l'AUM-AFM.